1.1 从「一次」到「二次」——升级的逻辑
你已经学过一次函数（Linear Function）：
画出来是一条直线。x 每增加 1，y 就固定增加 2。非常"听话"，非常"规律"。
但真实世界很少这么简单。现在我们把 x 自己乘以自己，升级一下：
这就是最简单的二次函数（Quadratic Function）。
"Quadratic" 来自拉丁语 quadratus，意思是"正方形"——因为 $x^2$ 就是边长为 $x$ 的正方形的面积。
1.2 标准形式长什么样？
二次函数的标准式（Standard Form）：
其中 a、b、c 都是常数，而且 a ≠ 0。
| 函数 | a | b | c | 是二次函数吗？ |
|---|---|---|---|---|
| $y = 3x^2 - 2x + 1$ | 3 | -2 | 1 | ✔ 是 |
| $y = -x^2 + 5$ | -1 | 0 | 5 | ✔ 是 |
| $y = x^2$ | 1 | 0 | 0 | ✔ 是（最简） |
| $y = 2x + 5$ | 0 | 2 | 5 | ✘ 不是 |
| $y = x^3 + x^2$ | — | — | — | ✘ 不是 |
判断口诀：看最高次——是 $x^2$ 就是二次函数，是 $x$ 就是直线，是 $x^3$ 就是三次。
1.3 另一种写法：顶点式
顶点式（Vertex Form）：
这里的 (h, k) 是抛物线最高点或最低点的坐标，叫做顶点（Vertex）。
$y = (x - 3)^2 - 4$
顶点就是 (3, -4)。信息一目了然！
这两种写法可以互相转化，第二章我们会学怎么转。
2.1 开口朝上还是朝下？
画图之前，先做一个判断——只看一个字母：a
| a 的正负 | 开口方向 | 形状 | 顶点含义 |
|---|---|---|---|
| a > 0 | 向上 ⬆ | 像碗 🥣 | 最低点（最小值） |
| a < 0 | 向下 ⬇ | 像山 ⛰ | 最高点（最大值） |
记忆方法：
a 是「正」的 → 表情「正常」→ 笑脸 → 开口向上
a 是「负」的 → 情绪「低落」→ 哭脸 → 开口向下
|a| 的大小决定抛物线的胖瘦：|a| 大 → 开口窄；|a| 小 → 开口宽。
2.2 对称轴——抛物线的「脊梁」
抛物线左右完全对称，中间那条竖线叫对称轴（Axis of Symmetry）。
直觉理解：想象抛出去的篮球，最高点正好在轨迹的正中间。对称轴就是过那个最高点的竖线。
求 $y = 2x^2 + 4x + 5$ 的对称轴
$$x = -\frac{4}{2 \times 2} = -\frac{4}{4} = -1$$
对称轴是 $x = -1$
2.3 顶点——抛物线的「心脏」
方法一：公式法（两步走）
- 用对称轴公式求 x 坐标：$x_{\text{顶点}} = -\dfrac{b}{2a}$
- 把这个 x 代入原函数，求 y 坐标：$y_{\text{顶点}} = f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$
求 $f(x) = x^2 - 2x + 4$ 的顶点
Step 1：$x = -\dfrac{-2}{2 \times 1} = 1$
Step 2：$y = f(1) = 1 - 2 + 4 = 3$
顶点 = (1, 3)，这是最小值（因为 a=1>0）
方法二：配方法（Completing the Square）
把标准式变成顶点式，顶点坐标直接读出来。
把 $y = x^2 - 6x + 11$ 变成顶点式
Step 1：凑完全平方 → $x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$
Step 2：代回原式 → $y = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$
读出顶点：(3, 2)，最小值为 2
3.1 极值——函数的「天花板」和「地板」
| 术语 | 英文 | 什么时候有 | 在哪里 |
|---|---|---|---|
| 最大值 | Maximum | a < 0（开口向下） | 顶点的 y 坐标 |
| 最小值 | Minimum | a > 0（开口向上） | 顶点的 y 坐标 |
| 极值 | Extreme value | 以上两者的统称 | 顶点处 |
核心逻辑：开口向上的碗 → 水留在最低点 → 最小值；开口向下的山 → 人站山顶 → 最大值
3.2 极值题精讲
$f(x) = x^2 - 2x + 4$
a = 1 > 0 → 开口向上 → 有最小值
$x = -\dfrac{-2}{2(1)} = 1$，$f(1) = 1 - 2 + 4 = 3$
最小值 = 3，在 x = 1 时取到
$f(x) = -x^2 + 3x$
a = -1 < 0 → 开口向下 → 有最大值
$x = \dfrac{3}{2}$，$f\!\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{9}{4}$
最大值 = 9/4，在 x = 3/2 时取到
$d(t) = 1 - 2t - t^2 = -t^2 - 2t + 1$
a = -1 < 0 → 开口向下 → 有最大值
$t = -1$，$d(-1) = 1 + 2 - 1 = 2$
最大值 = 2，在 t = -1 时取到
3.3 截距（Intercepts）
y 轴截距：当 x = 0 时，y = c。所以 c 就是图像与 y 轴的交点，一眼看出。
x 轴截距：令 y = 0，解 $ax^2 + bx + c = 0$。可能有 0 个、1 个或 2 个交点。这些交点也叫零点（Zeros / Roots）。
4.1 母函数 $y = x^2$
最基本的抛物线，叫母函数（Parent Function）。顶点在原点 (0, 0)，对称轴是 y 轴，开口向上。所有其他二次函数的图像，都是从它变换来的。
4.2 上下平移（Vertical Translation）
k > 0 → 整体上移 k 个单位；k < 0 → 整体下移 |k| 个单位。
直觉：想象把碗整体端高一点或放低一点，形状不变，位置变了。
4.3 左右平移（Horizontal Translation）
h > 0 → 向右移 h 个单位；h < 0 → 向左移 |h| 个单位。
⚠ 超级易错点！
$(x - 3)^2$ → 减 3 → 向右移 3
$(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ → 加 3 → 向左移 3
口诀：括号里减几，就向右；加几，就向左。反直觉，必须背！
4.4 翻转（Reflection）
在 a 前面加负号 → $y = -x^2$，图像关于 x 轴翻转，碗变成山。
4.5 综合变换（Vertex Form 的真相）
拆解来看：
- a 控制：开口方向（正/负）和胖瘦（|a| 大小）
- h 控制：左右平移（向右移 h）
- k 控制：上下平移（向上移 k）
$y = (x-3)^2 - 4$ 是由 $y = x^2$ 变换得到的：
1. 向右移 3 → 顶点到 (3, 0) 2. 向下移 4 → 顶点到 (3, -4)
顶点 = (3, -4)，a = 1 > 0 → 最小值，对称轴 x = 3
4.6 逆向题：已知变换结果，求原函数
题目：$y = 2x^2 - 5$ 是将某函数向左移3、再向下移1后得到的。求原函数。
思路：原函数 → 左移3 → 下移1 → $2x^2-5$。倒带：$2x^2-5$ → 右移3 → 上移1
右移 3：$y = 2(x-3)^2 - 5$
上移 1：$y = 2(x-3)^2 - 4$
展开：$y = 2x^2 - 12x + 18 - 4$
5.1 解题四步法
- 读题，找出「什么在变化」→ 设为变量 x
- 用 x 表达所有量，建立关于 x 的二次函数 y
- 找顶点，求极值
- 用中文写清楚答案（单位、限制条件都要写）
5.2 围栏 / 面积最大化
Jessica 给宠物鳄鱼围游乐场，一边是砖墙，另三边用篱笆，总长 11 米（含 1 米宽的门）。设 x 为垂直于墙的边长。
篱笆：$2x + \text{平行边} + 1 = 11$，平行边 $= 10 - 2x$
面积：$y = x(10 - 2x) = -2x^2 + 10x$
$x = -\dfrac{10}{2(-2)} = 2.5$ 米，$y_{\max} = 12.5$ 平方米
答：垂直边 2.5 米，平行边 5 米时，面积最大为 12.5 m²
5.3 物体飞行轨迹
火箭高度 $H(t) = 80t - 5t^2$（米），t 为秒。
a. 最高点时间：$t = -\dfrac{80}{2(-5)} = 8$ 秒
b. 最高点高度：$H(8) = 640 - 320 = 320$ 米
c. 何时落地：令 $H = 0$，$-5t(t-16) = 0$，$t = 16$ 秒
火箭第 8 秒到最高点 320 米，然后对称地用同样的 8 秒落回地面。这就是抛物线的对称性！
5.4 定价利润最大化
每天卖 275 个，售价 $2/个，成本 $1.5/个。每涨 10 美分，日销量减 25 个。求最优定价。
设涨价 n 个 10 美分。利润 $P(n) = (0.5 + 0.1n)(275 - 25n) = -2.5n^2 + 15n + 137.5$
$n = -\dfrac{15}{2(-2.5)} = 3$，涨 30 美分
答：定价 $2.30 时利润最大，为 $160/天
5.5 几何面积最大化
三角形底 a、高 h，内接矩形高度为 x。
由相似关系：$EF = \dfrac{a(h-x)}{h}$
面积 $y = -\dfrac{a}{h}x^2 + ax$
$x = \dfrac{h}{2}$ 时面积最大，$y_{\max} = \dfrac{ah}{4}$
答：矩形高 = 三角形高的一半时，面积最大，为三角形面积的一半
5.6 卫星碟天线问题
碟直径 32 英寸、深 8 英寸。圆柱直径 8 英寸放在碟中央，与碟顶齐平。求圆柱高度。
碟方程：$y = \dfrac{1}{32}x^2$（边缘点 (16, 8) 代入求得）
圆柱半径 4，底部高度 $y = \dfrac{16}{32} = 0.5$ 英寸
圆柱高度 = 8 - 0.5 = 7.5 英寸
6.1 知识树
6.2 公式速查卡
6.3 考试高频错误排雷
6.4 学习建议
| 阶段 | 目标 | 练习内容 |
|---|---|---|
| 第一周 | 打基础 | 背熟 $x = -b/2a$，判断开口方向，每天描点画一条抛物线 |
| 第二周 | 练变换 | 背会平移方向，练习标准式 ↔ 顶点式互转 |
| 第三周 | 攻应用 | 围栏题、飞行题、定价题各做 2 道 |
遇到看不懂的题：1. 找 a、b、c → 2. 算对称轴和顶点 → 3. 问自己要最大值还是最小值 → 4. 到顶点找答案